حل تمرین صفحه 91 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 91 - فعالیت 1 این فعالیت به شما کمک می‌کند تا مفهوم **هم‌نهشتی** را با انواع **تبدیلات هندسی** (انتقال، دوران، تقارن/بازتاب) که تبدیل‌های ایزومتریک نامیده می‌شوند، تمرین کنید. دو شکل زمانی هم‌نهشت هستند که اندازه‌ی تمام اضلاع و زوایای متناظرشان برابر باشد. ### **۱. شناسایی مثلث‌های هم‌نهشت با مثلث (الف)** همه‌ی مثلث‌های موجود در این شبکه‌ی مربعی که دارای زوایای رنگی یکسان (قرمز، آبی، سبز) و اضلاع متناظر مساوی هستند، با هم هم‌نهشت‌اند. * **مثلث (الف):** زوایای آن (قرمز، آبی، سبز) و اضلاع آن (به طول $2$ واحد، $1$ واحد و وتر $\sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$ واحد) مشخص هستند. * **مثلث‌های هم‌نهشت:** با توجه به زوایای مساوی، تمام مثلث‌های با نام‌های الف، ب، ج، د، ه، و، ز، ط، ی، ک، ل و م **هم‌نهشت** با یکدیگر هستند. ### **۲. پیدا کردن تبدیل‌های انطباق (از الف به بقیه):** * **(الف) $\leftarrow$ (ب): انتقال** (Translation) * مثلث (الف) را می‌توان با یک انتقال به سمت چپ، بر مثلث (ب) منطبق کرد. * **(الف) $\leftarrow$ (د): تقارن/بازتاب** (Reflection) * مثلث (الف) را می‌توان با تقارن نسبت به خط افقی که از مرکز اضلاع عمودی مثلث‌های الف و د می‌گذرد، بر مثلث (د) منطبق کرد. * **(الف) $\leftarrow$ (ه): دوران $180^{\circ}$** (Rotation) * مثلث (الف) را می‌توان با یک دوران $180^{\circ}$ حول نقطه‌ای که در مرکز مشترک اضلاع آن و مثلث (ه) قرار دارد، بر مثلث (ه) منطبق کرد. **چهار مورد دیگر:** | حالت | تبدیل مورد نیاز | توضیحات | | :---: | :---: | :---: | | **(الف) $\leftarrow$ (ج)** | **دوران $90^{\circ}$ حول مرکز (نقطه‌ی مشترک وسط)** | مثلث الف باید $90^{\circ}$ در جهت عقربه‌های ساعت (یا خلاف آن) بچرخد. | | **(الف) $\leftarrow$ (و)** | **تقارن (بازتاب)** | تقارن نسبت به خط عمودی مشترک (یا خطی که از وسط شکل می‌گذرد). | | **(الف) $\leftarrow$ (ط)** | **انتقال و تقارن (بازتاب)** | ابتدا مثلث (الف) را انتقال دهید تا به موقعیت مثلث (ز) برسد، سپس آن را نسبت به خط افقی بازتاب دهید تا بر (ط) منطبق شود. | | **(الف) $\leftarrow$ (ک)** | **انتقال و دوران** | ابتدا مثلث (الف) را انتقال دهید تا رأس قائم آن به رأس قائم مثلث (ک) برسد، سپس آن را $90^{\circ}$ بچرخانید. | **یادآوری:** دو شکل هم‌نهشت، در یک صفحه‌ی مختصات، حتماً می‌توانند با یک یا چند تبدیل ایزومتریک (انتقال، دوران، بازتاب) بر هم منطبق شوند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 91 - تمرین 2 (بخش الف و ب) این تمرین کاربرد مفهوم هم‌نهشتی در مهندسی سازه را نشان می‌دهد. از آنجا که دو مثلث **هم‌نهشت** هستند، اجزای متناظر آن‌ها با هم برابرند. ### **الف) زاویه‌ی روبه‌روی ضلع $\overline{BC}$ در $\triangle ABC$** در هر مثلث، زاویه‌ی روبه‌رو به یک ضلع، زاویه‌ای است که آن ضلع وتر یا یکی از اضلاع آن نباشد. ضلع $\overline{BC}$ توسط دو رأس $B$ و $C$ تشکیل شده است، پس زاویه‌ی روبه‌رو، زاویه‌ی رأس سوم یعنی $\mathbf{\hat{A}}$ است. $$\text{زاویه روبه‌روی ضلع } \overline{BC} \text{ در } \triangle ABC \text{، } \mathbf{\hat{A}}$$ ### **ب) زاویه‌ی روبه‌روی ضلع $\overline{BC}$ در $\triangle BCD$** در مثلث $\triangle BCD$، ضلع $\overline{BC}$ توسط دو رأس $B$ و $C$ تشکیل شده است. زاویه‌ی روبه‌رو، زاویه‌ی رأس سوم یعنی $\mathbf{\hat{D}}$ است. $$\text{زاویه روبه‌روی ضلع } \overline{BC} \text{ در } \triangle BCD \text{، } \mathbf{\hat{D}}$$ ### **ج) زاویه‌ی متناظر با $\hat{A}$** وقتی دو مثلث $\mathbf{\triangle ABC \cong \triangle BCD}$ هم‌نهشت هستند، تناظر رئوس به ترتیب زیر است: * رأس اول ($A$) متناظر با رأس اول ($B$) * رأس دوم ($B$) متناظر با رأس دوم ($C$) * رأس سوم ($C$) متناظر با رأس سوم ($D$) بنابراین، زاویه‌ی متناظر با $\hat{A}$ (رأس اول) برابر است با $\mathbf{\hat{B}}$ (رأس اول در نام مثلث دوم).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 91 - تمرین 3 (بخش الف و ب) در هر دو قسمت، از خاصیت **هم‌نهشتی** که توسط تبدیل‌های هندسی (دوران و تقارن) ایجاد شده، برای پیدا کردن مقادیر مجهول استفاده می‌کنیم. --- ### **الف) دوران (Rotation): پیدا کردن $x$ و $y$** چون $\triangle HIG$ حاصل دوران $90^{\circ}$ از $\triangle EFG$ حول $G$ است، پس دو مثلث **هم‌نهشت** هستند ($\triangle EFG \cong \triangle HIG$). **۱. پیدا کردن تناظر زوایا:** * $E \leftrightarrow H$ (زاویه‌ی $\hat{E}$ متناظر $\hat{H}$ است) * $F \leftrightarrow I$ * $G \leftrightarrow G$ (مرکز دوران) **۲. محاسبه‌ی $y$:** $$\hat{H} = \hat{E}$$ $$y = 40^{\circ}$$ $$\mathbf{y = 40}$$ **۳. محاسبه‌ی $x$:** زاویه‌ی $\hat{FGE}$ متناظر $\hat{IGH}$ است، پس این دو زاویه مساوی هستند: $$\hat{FGE} = \hat{IGH}$$ $$2x - 20^{\circ} = x + 25^{\circ}$$ **حل معادله:** $$2x - x = 25 + 20$$ $$\mathbf{x = 45}$$ **۴. تأیید اندازه‌ی زوایا:** * $\hat{FGE} = 2(45) - 20 = 90 - 20 = 70^{\circ}$ * $\hat{IGH} = 45 + 25 = 70^{\circ}$ **توجه:** زاویه‌ی دوران $90^{\circ}$، زاویه‌ی $\hat{EGH}$ (یا $\hat{FGI}$) نیست، بلکه زاویه‌ای است که هر ضلع را به ضلع متناظرش منتقل می‌کند. (مثل $\hat{EGH}$ که زاویه‌ی بین $\overline{GE}$ و $\overline{GH}$ است). --- ### **ب) تقارن (Reflection): پیدا کردن $y$ و $z$** چون چهارضلعی $KLMN$ حاصل تقارن چهارضلعی $ABCD$ است، پس دو چهارضلعی **هم‌نهشت** هستند ($\mathbf{ABCD \cong KLMN}$ با توجه به تناظر رئوس). **۱. پیدا کردن تناظر زوایا و اضلاع:** * $A \leftrightarrow K$ * $B \leftrightarrow L$ * $C \leftrightarrow M$ * $D \leftrightarrow N$ **۲. محاسبه‌ی $y$:** اضلاع متناظر $\overline{AB}$ و $\overline{KL}$ با هم برابرند: $$\overline{AB} = \overline{KL}$$ $$3y = 5y - 80$$ **حل معادله:** $$80 = 5y - 3y$$ $$80 = 2y$$ $$\mathbf{y = 40}$$ **۳. محاسبه‌ی $z$:** ضلع $\overline{MN}$ در شکل $KLMN$ متناظر با ضلع $\overline{CD}$ در شکل $ABCD$ است، پس $\mathbf{z}$ متناظر $\overline{CD}$ است. متأسفانه طول $\overline{CD}$ در تصویر مشخص نیست، بنابراین $z$ را نمی‌توان محاسبه کرد. **۴. محاسبه‌ی زوایای مجهول (درجه):** زوایای متناظر مساوی هستند: * $\hat{C} = \hat{M} \implies \hat{M} = 35^{\circ}$ * $\hat{D} = \hat{N} \implies \hat{D} = 85^{\circ}$ * $\hat{A}$ متناظر $\hat{K}$ و $\hat{B}$ متناظر $\hat{L}$ است (اندازه مشخص نیست).